xüsusi funksiyalar nəzəriyyəsində yüksələn faktorial üçün istifadə olunan işarədir.
(x)ₙ ≡ Γ(x+n) / Γ(x) = x(x+1)⋯(x+n−1)
(Abramowitz və Stegun 1972, s. 256; Spanier 1987; Koepf 1998, s. 5). yüksələn faktorial gücü (Graham və b. 1994, s. 48) və ya yüksələn faktorial (Boros və Moll 2004, s. 16) kimi də tanınır. Wolfram Language-də Pochhammer[x, n] şəklində tətbiq edilmişdir.
kombinatorikada yüksələn faktorial üçün (Roman 1984, s. 5), (Comtet 1974, s. 6) və ya (Graham və b. 1994, s. 48) işarələrindən istifadə olunur; enən faktorial isə və ya şəklində göstərilir (Graham və b. 1994, s. 48). buna görə bu işarələrin şərhində son dərəcə ehtiyatlı olmaq lazımdır.
mənfi olmayan tam ədədlər üçün ilk bir neçə dəyər:
(x)₁ = x
(x)₂ = x(x+1)
(x)₃ = x(x+1)(x+2)
(x)₄ = x(x+1)(x+2)(x+3)
qapalı formada (x)ₙ birinci növ Stirlinq ədədləri vasitəsilə ifadə edilə bilər.
Pochhammer simvolu aşağıdakı xassələri ödəyir:
(x)ₘ₊ₙ = (x)ₘ · (x+m)ₙ
dimidiasiya düsturları:
(x)₂ₙ = 2²ⁿ · (x/2)ₙ · ((x+1)/2)ₙ
(2x)ₙ = 2ⁿ · (x)ₙ/₂ · ... (Boros və Moll 2004, s. 17)
törəməsi digamma funksiyası ψ(x) vasitəsilə ifadə olunur:
d/dx (x)ₙ = (x)ₙ · [ψ(x+n) − ψ(x)]
xüsusi dəyərlər:
(1)ₙ = n!
(1/2)ₙ = (2n)! / (4ⁿ · n!)
Pochhammer simvolları nisbəti qapalı formada ifadə oluna bilər (Boros və Moll 2004, s. 17). Pochhammer simvolu hipergeometrik funksiyaların, xüsusilə ümumiləşdirilmiş hipergeometrik funksiyaların ifadəsində əsas rol oynayır.
Mənbə və əlavə oxu üçün:
1. mathworld
2. sciencedirect
sifarişi verən: edward witten